這篇文章主要講解了“Python算法如何解決樓梯臺(tái)階問(wèn)題”，文中的講解內(nèi)容簡(jiǎn)單清晰，易于學(xué)習(xí)與理解，下面請(qǐng)大家跟著小編的思路慢慢深入，一起來(lái)研究和學(xué)習(xí)“Python算法如何解決樓梯臺(tái)階問(wèn)題”吧！

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有一個(gè)有N個(gè)臺(tái)階的樓梯，你一次可以爬1或2個(gè)臺(tái)階。

給定N，編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)，返回爬完樓梯的方式數(shù)量。步驟的順序很重要。

例如，如果N是4，那么有5種方式：

1,1,1,1

2,1,1

1,2,1

1,1,2

2,2

如果規(guī)定的不是一次只能爬1或2步，而是可以使用正整數(shù)X集合內(nèi)的任意數(shù)字爬樓梯，那會(huì)怎么樣？例如，如果X = {1,3,5}，則表示一次爬升1，3或5階樓梯。

解決方案

從一些測(cè)試案例開(kāi)始總是好的做法。讓我們從小的案例開(kāi)始，看看能否找到某種規(guī)律。

• N = 1，1種爬樓方式：[1]

• N = 2，2種爬樓方式：[1,1]，[2]

• N = 3，3種爬樓方式：[1,2]，[1,1,1]，[2,1]

• N = 4，5種爬樓方式：[1,1,2]，[2,2]，[1,2,1]，[1,1,1,1]，[2,1,1]

你有沒(méi)有注意到什么？請(qǐng)看N = 3時(shí)，爬完3階樓梯的方法數(shù)量是3，基于N = 1和N = 2。存在什么關(guān)系？

爬完N = 3的兩種方法是首先達(dá)到N = 1，然后再往上爬2步，或達(dá)到N = 2再向上爬1步。所以 f(3) = f(2) + f(1)。

這對(duì)N = 4是否成立呢？是的，這也是成立的。因?yàn)槲覀冎荒茉谶_(dá)到第三個(gè)臺(tái)階然后再爬一步，或者在到了第二個(gè)臺(tái)階之后再爬兩步這兩種方式爬完4個(gè)臺(tái)階。所以f(4) = f(3) + f(2)。

所以關(guān)系如下： f(n) = f(n – 1) + f(n – 2)，且f(1) = 1和f(2) = 2。這就是斐波那契數(shù)列。

def fibonacci(n):
 if n <= 1:
 return 1
 return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

當(dāng)然，這很慢（O(2^N)）——我們要做很多重復(fù)的計(jì)算！通過(guò)迭代計(jì)算，我們可以更快：

def fibonacci(n):
 a, b = 1, 2
 for _ in range(n - 1):
 a, b = b, a + b
 return a

現(xiàn)在，讓我們嘗試概括我們學(xué)到的東西，看看是否可以應(yīng)用到從集合X中取步數(shù)這個(gè)要求下的爬樓梯。類(lèi)似的推理告訴我們，如果X = {1,3,5}，那么我們的算法應(yīng)該是f(n) = f(n – 1) + f(n – 3) + f(n – 5)。如果n <0，那么我們應(yīng)該返回0，因?yàn)槲覀儾荒芘镭?fù)數(shù)。

def staircase(n, X):
 if n < 0:
 return 0
 elif n == 0:
 return 1
 elif n in X:
 return 1 + sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)
 else:
 return sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)

這也很慢（O(|X|^N)），因?yàn)橐仓貜?fù)計(jì)算了。我們可以使用動(dòng)態(tài)編程來(lái)加快速度。

每次的輸入cache[i]將包含我們可以用集合X到達(dá)臺(tái)階i的方法的數(shù)量。然后，我們將使用與之前相同的遞歸從零開(kāi)始構(gòu)建數(shù)組：

def staircase(n, X):
 cache = [0 for _ in range(n + 1)]
 cache[0] = 1
 for i in range(n + 1):
 cache[i] += sum(cache[i - x] for x in X if i - x > 0)
 cache[i] += 1 if i in X else 0
 return cache[-1]

現(xiàn)在時(shí)間復(fù)雜度為O(N * |X|)，空間復(fù)雜度為O(N)。

感謝各位的閱讀，以上就是“Python算法如何解決樓梯臺(tái)階問(wèn)題”的內(nèi)容了，經(jīng)過(guò)本文的學(xué)習(xí)后，相信大家對(duì)Python算法如何解決樓梯臺(tái)階問(wèn)題這一問(wèn)題有了更深刻的體會(huì)，具體使用情況還需要大家實(shí)踐驗(yàn)證。這里是創(chuàng)新互聯(lián)，小編將為大家推送更多相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的文章，歡迎關(guān)注！

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