深度學習的”深度”， 早幾年討論的挺多的，身邊有不同的理解：深度=更大規(guī)模的網(wǎng)絡，也有認為：深度=更抽象的特征，近年來物理上也有人側(cè)面顯示：深度=玻璃相轉(zhuǎn)變，如果后者的觀點成立，那么僅僅引入GPU甚至FPGA硬件的目的只是加快， 沒有算法的幫助（調(diào)參也算一種算法，后面會解釋）是不會加深的！（注：等號表示強關系，不表示等價）

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度量”深“

這個”深“同復雜度的聯(lián)系是很緊密的。神經(jīng)網(wǎng)絡的復雜度，我們可以使用層數(shù)，神經(jīng)元數(shù)目，或者連接權重數(shù)目作為度量。相對的，數(shù)據(jù)本身的復雜度，我們用帶標簽的數(shù)據(jù)的比例和不帶標簽的數(shù)據(jù)的比例來衡量。

深度=規(guī)模？網(wǎng)絡復雜性同分類誤差之間的聯(lián)系：

70-90年代關于神經(jīng)網(wǎng)絡的數(shù)學結論可謂多如牛毛，基本上很多討論了規(guī)模和泛化之間的關系，尤其是分類問題，關于分類的訓練誤差和測試誤差（泛化能力），基本上歸結為幾個基本要求和限制：

模型要多復雜： 增加復雜度總是能擬合好訓練樣本，而要獲得良好的泛化能力，普遍認為復雜度應該為訓練數(shù)據(jù)數(shù)目的某種冪次，才能有較好的泛化能力。而且冪次要求小于1，若不然，每增加一個訓練樣本，都必須要擴充網(wǎng)絡，這種模型沒有任何實際意義。謝天謝地，神經(jīng)網(wǎng)絡可以滿足這個要求，參考文獻3。 要多少訓練數(shù)據(jù)：如果網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)為 N，連接權重數(shù)為W，那么泛化誤差小于任意指定值ε 的一個合理的要求便是： 訓練數(shù)據(jù)的數(shù)目 >（W/ε）Log（N/ε），這說明復雜的模型需要更多的訓練以獲得優(yōu)秀的泛化能力！事實上，不斷提高數(shù)據(jù)量，多層感知器模型也能達到目前深度學習的水平（參考文獻2），認為深度學習=普通多層神經(jīng)網(wǎng)絡，的確有現(xiàn)實的理由。 奧卡姆剃刀疑惑：理論上，帶一層隱藏層的核基神經(jīng)網(wǎng)絡可以將任意數(shù)據(jù)擬合好（理解為級數(shù)展開，每個項就是一個隱藏神經(jīng)元），那么提高復雜度的作用是啥？無法爭辯的事實是，數(shù)據(jù)量足夠高以后，簡單的分類器都能給出優(yōu)秀的結果。關于這一點從相變角度能解釋為何需要實際工程需要一個“過度復雜的網(wǎng)絡”，而不是一個大小“剛剛好的”網(wǎng)絡。 復雜的代價：一個基本的定理，測試誤差 >= 訓練誤差 + 模型復雜度，過度復雜的代價便是過擬合。防止過擬合的方法沒有通論，業(yè)界通稱“黑魔法”。

上面4點告訴我們的表象是，針對靜態(tài)非時序分類問題，我們貌似可以不要高大上的算法，只要數(shù)據(jù)量足夠，網(wǎng)絡足夠復雜，機器夠大，速度夠快，懂點“黑魔法”，在現(xiàn)在的工業(yè)界的數(shù)據(jù)量和模型通常都是用億來衡量其規(guī)模的時代，此乃現(xiàn)世王道。

深度=更多抽象特征？一連串問題來了，何為特征？何為好的特征？深度學習的特征為何被稱為抽象的？多層和抽象的關系是啥？

特征=函數(shù)展開的基函數(shù)？數(shù)學上將基函數(shù)理解成特征是可以的，當然不必要完備，也不必要正交。比如下圖，圖片特征提取，稀疏編碼就是在一堆特征當中尋找最少且擬合最好的特征組，前提假設是圖片都可以被分解為這些特征的線性疊加。然而前提要求分解仍然是線性的，使得機器上好計算，但是實際問題需要的特征通常是不同類型的組合，強行線性組合就像是吃正宗粵菜的時候來個山東煎餅果子一樣。(圖取自吳恩達的slide)

特征=低維流形嵌入？

產(chǎn)生成千上萬個沒經(jīng)驗證的特征總是容易的，但去除冗余特征，也就是去掉那些添不添加都不影響結果的特征，就需要相當?shù)募记伞Ｒ环N便是通過低維流形去尋找最重要的結構，這種方法可以利用多層自編碼去逐層壓縮維度，也可以用傳統(tǒng)多層神經(jīng)網(wǎng)絡+Isomap類似的方法一步到位地壓縮維度，然后不斷調(diào)整使得嵌入低維的數(shù)據(jù)點“互相分離的最遠”。由于數(shù)據(jù)點靠的近表示相似，故此這種方法能將數(shù)據(jù)本身的平移旋轉(zhuǎn)按順序嵌入到每塊低維子流形當中。反過來說，如果訓練數(shù)據(jù)已經(jīng)包含有其本身的旋轉(zhuǎn)平移，其低維子流形將會被填充得“更加的豐滿”（如綠色的圓圈，因為手寫數(shù)字1無論如何寫都是“ |” 的某種旋轉(zhuǎn)拉伸），其低維的邊界就更容易被發(fā)現(xiàn)。然而這種方法是假設數(shù)據(jù)的可解釋性隱藏在其低維流形結構上，難免讓人費解，而且不同標簽的嵌入子流形能否被充分分離也是非常困難的事情。（參考G.E.Hinton 06年 nature， Y LeCun，etc）

特征=數(shù)據(jù)拓撲？似乎研究訓練數(shù)據(jù)本身復雜性的不多，都強調(diào)模型對數(shù)據(jù)的解釋能力。實際上，不論任何數(shù)據(jù)，任何奇怪的類型，拓撲都是比人設模型更泛的工具。不少人直觀認為拓撲學的概括性過強，用作特征沒法表示數(shù)據(jù)的內(nèi)稟結構。其實不然，目前比較火的，如代數(shù)拓撲里面有個Persistent homology，其對數(shù)據(jù)主要特征如此敏感，甚至可以用來當作蛋白質(zhì)結構的拓撲指紋，有數(shù)學家通過這些指紋，甚至發(fā)現(xiàn)一些蛋白數(shù)據(jù)庫的結構錯誤。（參考文獻4，5） 是特征提升“深度”，還是“深度”提升特征？

深度=玻璃相轉(zhuǎn)變？何為玻璃相？它對泛化誤差的影響是啥？

相，作為區(qū)分兩種狀態(tài)的詞，有個非常現(xiàn)實和直觀的影響便是，外部條件不變的話，從一種相跨到另一種相是有很大難度的！比如水在低溫會結冰，同樣條件，讓水不結冰的概率，雖然按照玻爾茲曼分布來看并非為零，過冷水便是一例。但這種狀態(tài)是非常不穩(wěn)定的，一旦擾動很快就變成冰，不可能回到液體。 相變過程=搜索能量最小點，這是一個粗淺的理解，在給定條件下（比如溫度T），相變就是從能量高的狀態(tài)（低溫水）找到能量低的狀態(tài)（冰）。但是該過程不是直線式的下陂過程，期間要翻過一些很小的山頭，描述這些小山頭的阻礙我們用一個正的能量壘ΔE

來表示。其阻礙時間按照阿倫尼烏斯的觀點，正比于N*E^(ΔE/T)，指數(shù)型的拖延。前面的參數(shù)N用來形容山頭的多寡。 玻璃相。假設這些小山頭不是一個，而是體系自由度的指數(shù)，雖然每個山頭的高度不高，累計的阻礙仍然非常可觀，甚至嚴重影響你尋找最小能量態(tài)的可能性，進入這種像踩到瀝青的區(qū)域，我們用玻璃相來形容。如下圖，比如蛋白質(zhì)折疊的能量漏斗模型（能量landscape），從計算機模擬上來看，穿過玻璃轉(zhuǎn)變區(qū)（glass transition）進入能量最小值是最消耗時間的一個區(qū)域。這個過程硬件提速固然重要，但是并行加速是線性的提高，只解決空間復雜，不解決時間復雜！玻璃區(qū)域是包含有時間復雜的，一旦規(guī)模巨大后，沒有算法技巧，尋找能量最低點，在這種非凸的模型上，基本無望。

玻璃世界的山頭類型，這里的山頭不僅包括語義上的山，也包括低谷。數(shù)學上嚴格描述應該理解為梯度為零的點，梯度為零的點有兩種，鞍點和極值點。梯度下降法中，鞍點總是可以找到出路的，到了極小點就無望了。物理上，鞍點數(shù)目可能會隨著能量不斷下降而慢慢轉(zhuǎn)換成極小點，如下圖便是Lennard-Jones液固轉(zhuǎn)變的模擬計算（文獻7），y軸描述鞍點數(shù)目，系統(tǒng)還沒到達最小能量（變成固體）就被包圍在一堆極小值附近了，這時候采用梯度下降搜索萬億年都是徒勞的。然而這也告訴我們一個希望，沒必要擔心局部極小，因為一旦到了真正的局部極小，也非常接近最小值了，畢竟大部分區(qū)域都是被鞍點割據(jù)著。

智能是非凸的過程！這是一個非常老的觀點，按照早期的計算能力來看，可想而知地不受歡迎。任何訓練都是在最小化某個損失函數(shù)L(W)

或叫能量函數(shù)也可。Y LeCun（文獻6）等人近來研究的觀點顯示，多層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的損失函數(shù)雖然是非凸的，但是阻礙其通向最優(yōu)點的山頭屬鞍點居多，是鞍點意味著總是可以找到出路。但是小index的鞍點阻礙能力甚高，而且隨機矩陣理論和模擬顯示，神經(jīng)網(wǎng)絡在一定能量以上的某個區(qū)域全都是這類鞍點，非常類似物理上的Lennard-Jones液固轉(zhuǎn)變過程，這也能理解為何訓練一個神經(jīng)網(wǎng)絡會慢慢開始黏在一個區(qū)域不動，這個區(qū)域的鞍點山頭阻礙都十分可怕（參考8）。（下圖y軸描述鞍點數(shù)，橫軸就是損失函數(shù)，第4張圖說明能量高到一定程度，鞍點都會消失）

深度=跨越玻璃相？這里要給個問號，畢竟目前理論都不是在真實工業(yè)界的模型下計算出來的，像是一個猜測。想法是，既然訓練存在玻璃阻礙，為何不一開始就把系統(tǒng)初始化到鞍點盡量少的區(qū)域，可惜在高維空間判斷鞍點少的區(qū)域是個十分復雜的問題。但是我們可以降低維度去判斷，比如引入少量外部控制變量—序參數(shù)（權重的平方和，類似SVM中的間隔，輸入層的偏置，無標簽/有標簽數(shù)據(jù)數(shù)目等），然后約束這些序參數(shù)，按照某種權重平均掉這些鞍點Wi的貢獻（重要性抽樣說明這約等于將所有W積掉）。由于鞍點多的地方貢獻相對大，序參數(shù)調(diào)整不好會導致平均結果同其它區(qū)域有明顯不同，因此可以用來判斷相區(qū)。如下圖，log（ε）表示泛化能力的對數(shù)，越小泛化能力越強。β表示無標簽樣本的數(shù)目，α表示有標簽樣本數(shù)。不同顏色的線是不同偏置，藍色線的偏置最小。不論那條顏色的線，增大無標簽的樣本原則上可以降低誤差，但是理論上存在“相區(qū)”，如藍色線的上半支和下半支，中間不穩(wěn)定，難以逗留長時間，會存在一支相的誤差一直無法下降。它卡住了！

預訓練能加深！有了控制變量，我們可以通過調(diào)整這些值，將損失函數(shù)拖到感興趣的區(qū)域，從而回避相的影響，這個拖動過程由一個日本人今年的研究表明（文獻9），就是無標簽的預訓練！如下圖，預訓練越多，有標簽的調(diào)優(yōu)能越早找到最小值區(qū)域！（log（ε）表示泛化能力的對數(shù)，越小泛化能力越強。β表示無標簽樣本的數(shù)目，α表示有標簽樣本數(shù)，預訓練是RBM之流，激活函數(shù)是ReLu）

不止有預訓練？雖然相的觀點仍然說明這只是一個初始化“黑魔法”而已。但這個步驟確確實實在削弱玻璃相區(qū)的阻礙。因此本人也有個臆測，加大規(guī)模，加大樣本，提取深層特征的深度學習是跨越相一個表面技巧而已！或許我們能找到一種跨越或者回避相區(qū)的通用方法，一旦達到此目的，由此獲得的特征或者才是真正的內(nèi)稟表示。

當前標題：深度學習“深度”有什么意義？
標題來源：http://vcdvsql.cn/article36/sdpopg.html

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