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C++初階學習————二叉樹進階（二叉搜索樹）-創新互聯

二叉樹進階
  • 二叉搜索樹的概念
  • 二叉搜索樹的操作
    • 基本框架
    • 二叉搜索樹的插入
    • 二叉搜索樹的查找
    • 二叉搜索樹的刪除
  • 整體代碼
    • 循環寫法
    • 遞歸寫法
  • 二叉搜索樹的應用
  • 二叉搜索樹的性能分析

前面的文章介紹過二叉樹的基礎概念以及完全二叉樹的應用等等，本篇將介紹二叉搜索樹

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二叉搜索樹是一顆排序樹，或者是一顆空樹如圖：

在這里插入圖片描述
若它的左子樹不為空，則左子樹上所有節點的值都小于根節點的值
若它的右子樹不為空，則右子樹上所有節點的值都大于根節點的值
它的左右子樹也分別為二叉搜索樹，并且它可以去重

二叉搜索樹的操作 基本框架
templatestruct BSTreeNode
{BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _right;
	T _key;
	
	BSTreeNode(const T& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};
templateclass BSTree
{typedef BSTreeNodeNode;
public:
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}
private:
	Node* _root;
};
二叉搜索樹的插入

例如插入6和10
在這里插入圖片描述

bool insert(const T& key)
{if (_root == nullptr)
	{_root = new Node(key);
		return true;
	}

	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;
	while (cur)
	{if (cur->_key >key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key< key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
			return false;
	}
	cur = new Node(key);
	if (parent->_key >key)
		parent->_left = cur;
	else
		parent->_right = cur;

	return true;
}

注意：會有樹為空的情況需要判斷

二叉搜索樹的查找

查找的代碼和插入非常類似，大于根去右邊，小于根去左邊，最多查找高度次
代碼如下：

//Node* find(const T& key)
bool find(const T& key)
{if (_root == nullptr)
		return false;
	//return nullptr;

	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{if (cur->_key >key)
			cur = cur->_left;
		else if (cur->_key< key)
			cur = cur->_right;
		else
			return true;
		//return cur;
	}
	return false;
	//return nullptr;
}
二叉搜索樹的刪除

這里的刪除相對于插入和查找來說是比較難的，最重要的是不能改變二叉搜索樹的結構，所以這里主要分為兩種情況考慮

  1. 刪除只有一個子節點或沒有子節點
  2. 刪除左右子節點都存在的

先找到要刪除的節點，代碼如下：

bool erase(const T& key)
{if (_root == nullptr)
		return false;

	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;
	while (cur)
	{if (cur->_key >key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key< key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else		
		{	刪除部分的代碼........
		}
	}
	return false;	
}

1. 刪除只有一個子節點或沒有子節點

（1）刪除葉子節點（刪除9舉例）
在這里插入圖片描述

（2）刪除只存在一個子節點的節點（刪除8舉例）
在這里插入圖片描述

情況1的刪除代碼：

else
{if (cur->_left == nullptr)
	{if (cur == parent->_left)
			parent->_left = cur->_right;
		else
			parent->_right = cur->_right;
	}
	else if (cur->_right == nullptr)
	{if (cur == parent->_left)
			parent->_left = cur->_left;
		else
			parent->_right = cur->_left;
	}
	else
	{情況2部分的代碼.......}
	delete cur;
}

除上述代碼刪除的示例外，另外三種情況
在這里插入圖片描述
所以這里需要仔細處理鏈接，否則會破壞搜索樹的結構

2.刪除左右節點都存在的節點

（1）刪除根節點
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述

（2）刪除其他存在左右子節點的節點
在這里插入圖片描述
在這里插入圖片描述
找到的右子樹最小節點一定沒有左節點，且它的父節點一定不為空；所以在交換或覆蓋完數值后，剩下的步驟和情況一一樣，并且這里不用單獨判斷刪除的節點存在哪邊的子節點（右子樹的最小節點一定沒有左節點，所以只可能存在右節點）
在這里插入圖片描述
情況2的刪除代碼：

else
{Node* min_parent = cur;
	Node* min = cur->_right;

	while (min->_left)
	{min_parent = min;
		min = min->_left;
	}
	cur->_key = min->_key;

	if (min == min_parent->_left)
		min_parent->_left = min->_right;
	else
		min_parent->_right = min->_right;

	swap(min,cur);
}

在這里插入圖片描述
以上就是刪除主要步驟，但還有個問題就是要考慮只有一個節點，需要操作根節點。

if (_root->_key == key )
{if (_root->_left == nullptr)
		_root = _root->_right;
	else
		_root = _root->_left;
}

總體代碼

bool erase(const T& key)
{if (_root == nullptr)
		return false;

	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;
	while (cur)
	{if (cur->_key >key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key< key)
		{	parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{	if (_root->_key == key )
			{		if (_root->_left == nullptr)
					_root = _root->_right;
				else
					_root = _root->_left;
			}
			else if (cur->_left == nullptr)
			{		if (cur == parent->_left)
					parent->_left = cur->_right;
				else
					parent->_right = cur->_right;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{		if (cur == parent->_left)
					parent->_left = cur->_left;
				else
					parent->_right = cur->_left;
			}
			else
			{		Node* min_parent = cur;
				Node* min = cur->_right;

				while (min->_left)
				{min_parent = min;
					min = min->_left;
				}
				cur->_key = min->_key;

				if (min == min_parent->_left)
					min_parent->_left = min->_right;
				else
					min_parent->_right = min->_right;

				swap(min,cur);
			}
			delete cur;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
整體代碼 循環寫法
bool insert(const T& key)
	{if (_root == nullptr)
		{	_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)
		{	if (cur->_key >key)
			{		parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key< key)
			{		parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key >key)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;

		return true;
	}


	bool find(const T& key)
	{if (_root == nullptr)
			return false;
		//return nullptr;

		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{	if (cur->_key >key)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_key< key)
				cur = cur->_right;
			else
				return true;
			//return cur;
		}
		return false;
		//return nullptr;
	}


	bool erase(const T& key)
	{if (_root == nullptr)
			return false;

		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)
		{	if (cur->_key >key)
			{		parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key< key)
			{		parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{		if (_root->_key == key )
				{if (_root->_left == nullptr)
						_root = _root->_right;
					else
						_root = _root->_left;
				}
				else if (cur->_left == nullptr)
				{if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_right;
					else
						parent->_right = cur->_right;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_left;
					else
						parent->_right = cur->_left;
				}
				else
				{Node* min_parent = cur;
					Node* min = cur->_right;

					while (min->_left)
					{min_parent = min;
						min = min->_left;
					}
					cur->_key = min->_key;

					if (min == min_parent->_left)
						min_parent->_left = min->_right;
					else
						min_parent->_right = min->_right;

					swap(min,cur);
				}
				delete cur;
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

	//打印搜索樹
	void print_BSTree()
	{_print_BSTree(_root);
		cout<< endl;
	}
	void _print_BSTree(Node* root)
	{if (root == nullptr)
			return;

		_print_BSTree(root->_left);
		cout<< root->_key<< " ";
		_print_BSTree(root->_right);
	}
遞歸寫法

1.插入

bool insertR(const T& key)
{return insertR(_root,key)
}
bool _insertR(Node*& root,const T& key)
{if(root == nullptrd)
	{root = new Node(key);
		return true;
	}
	if(root->_key >key)
		return insertR(root->_left,key);
	else if(root->_key< key)
		return insertR(root->_right,key);
	else
		return false;
}

注意，這里可以成功鏈接上，主要是運用了引用，遞的是左右指針的引用
在這里插入圖片描述

2.查找

Node* findR(const T& key)
{if()
}
bool _insertR(Node*& root, const T& key)
{if (root == nullptr)
	{root = new Node(key);
		return true;
	}
	if (root->_key >key)
		return _insertR(root->_left, key);
	else if (root->_key< key)
		return _insertR(root->_right, key);
	else
		return false;
}

3.刪除

bool EarseR(const K& key)
{return EarseR(_root,key);
}

bool _EraseR(Node*& root, const T& key)
{if (root == nullptr)
		return false;

	if (root->_key >key)
		_EraseR(root->_left, key);
	else if (root->_key< key)
		_EraseR(root->_right, key);
	else
	{Node* era = root;
		if (root->_left == nullptr)
			root = root->_right;
		else if (root->_right == nullptr)
			root = root->_left;
		else
		{	Node* min = root->_right;
			Node* min_parent = root;
			while (min->_left)
			{		min_parent = min;
				min = min->_left;
			}
			swap(min->_key, root->_key);
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		delete era;
		return true;
	}
}

這里講一下刪除的思路：
情況一時，操作和遞歸的插入基本一樣，通過使用引用就可直接令要刪除節點的父節點與子節點直接相連，也不用再去判斷刪除節點是父節點的左邊還是右邊

情況二時，先找到右子樹最小節點，再與要刪除的節點交換數值，最后遞歸傳遞的節點是，要刪除節點的左子樹（情況二再交換完數值后就可以按照情況一去處理了）

在這里插入圖片描述

注意：要提前記錄一下找到的要刪除的節點，中間過程會改變root的值，所以最后刪除的是提前記錄好的節點

總體代碼

bool insertR(const T& key)
	{return _insertR(_root,key);
	}
	Node* findR(const T& key)
	{return _findR(_root,key);
	}

	bool EraseR(const T& key)
	{return _EraseR(_root, key);
	}



private:
	bool _insertR(Node*& root, const T& key)
	{if (root == nullptr)
		{	root = new Node(key);
			return true;
		}
		if (root->_key >key)
			return _insertR(root->_left, key);
		else if (root->_key< key)
			return _insertR(root->_right, key);
		else
			return false;
	}

	Node* _findR(Node* root, const T& key)
	{if (root == nullptr)
			return nullptr;

		if (root->_key >key)
			return _findR(root->_left, key);
		else if (root->_key< key)
			return _findR(root->_right, key);
		else
			return root;

	}

	bool _EraseR(Node*& root, const T& key)
	{if (root == nullptr)
			return false;

		if (root->_key >key)
			_EraseR(root->_left, key);
		else if (root->_key< key)
			_EraseR(root->_right, key);
		else
		{	Node* era = root;
			if (root->_left == nullptr)
				root = root->_right;
			else if (root->_right == nullptr)
				root = root->_left;
			else
			{		Node* min = root->_right;
				Node* min_parent = root;
				while (min->_left)
				{min_parent = min;
					min = min->_left;
				}
				swap(min->_key, root->_key);
				return _EraseR(root->_right, key);
			}
			delete era;
			return true;
		}
	}
二叉搜索樹的應用
  1. K模型：K模型即只有key作為關鍵碼，結構中只需要存儲Key即可，關鍵碼即為需要搜索到的值。
    比如：給一個單詞word，判斷該單詞是否拼寫正確，具體方式如下：
    • 以詞庫中所有單詞集合中的每個單詞作為key，構建一棵二叉搜索樹
    • 在二叉搜索樹中檢索該單詞是否存在，存在則拼寫正確，不存在則拼寫錯誤。
  2. KV模型：每一個關鍵碼key，都有與之對應的值Value，即的鍵值對。該種方式在現實生活中非常常見：
    • 比如英漢詞典就是英文與中文的對應關系，通過英文可以快速找到與其對應的中文，英文單詞與其對應的中文就構成一種鍵值對；
    • 再比如統計單詞次數，統計成功后，給定單詞就可快速找到其出現的次數，單詞與其出現次數就是就構成一種鍵值對

c++提供了這種鍵值對兒的結構，叫做pair

pairp1("one",1);
p1.first就是key
p1.second就是value
make_pair("one",p1); 可以構造一個pair

在這里插入圖片描述

二叉搜索樹的性能分析

插入和刪除操作都必須先查找，查找效率代表了二叉搜索樹中各個操作的性能。

但是會有極端情況：當插入的值順著一個方向一直插入（即插入的值一直是最小或大或者接近這種情況），那么二叉樹就變成了單樹，這時的查找效率就是極低了，即結點越深，則比較次數越多。

  • 最優情況下，二叉搜索樹為完全二叉樹(或者接近完全二叉樹)，其平均比較次數為： l o g 2 N log_2 N log2?N
  • 最差情況下，二叉搜索樹退化為單支樹(或者類似單支)，其平均比較次數為： N 2 \frac{N}{2} 2N?
    在這里插入圖片描述
    當變為單樹就失去意義了（查找元素相當于在順序表中搜索元素，效率低下）。

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