協方差：兩個變量總體誤差的期望。

簡單的說就是度量Y和X之間關系的方向和強度。

X ：預測變量
Y ：響應變量

 Y和X的協方差：［來度量各個維度偏離其均值的程度］

備注:［之所以除以n-1而不是除以n，是因為這樣能使我們以較小的樣本集更好的逼近總體的協方差，即統計上所謂的“無偏估計”。而方差則僅僅是標準差的平方］

 如果結果為正值，則說明兩者是正相關的(從協方差可以引出“相關系數”的定義)，
 如果結果為負值就說明負相關的
 如果為0，也是就是統計上說的“相互獨立”

為什么呢：

 如果第1，3象限點位多，最終的和就是正，X增大Y增大
 如果第2，4象限點位多，最終的和就是負，X增大Y減小

Cov(Y,X)會受到度量單位的影響

引入相關系數：

python使用以下公式進行計算［上面的公式不便于編程，需要多次掃描數據，但是微小的錯誤會被放大哦］：

#coding:utf-8
'''
Y和X的相關系數就是標準化后變量的協方差
'''
'''
__author__ = 'similarface'
QQ:841196883@qq.com
'''
from math import sqrt
from pandas import *
import pandas as pd
import os,sys
import matplotlib.pyplot as plt
#安裝不了 就github下載源碼安裝
from sklearn import datasets, linear_model

'''
根據文件加載數據
'''
def loaddataInTab(filename):
    if os.path.isfile(filename):
        try:
            return pd.read_table(filename)
        except Exception,e:
            print(e.message)
    else:
        print("文件存在!")
        return None
'''
獲取Y，X的相關系數，即為：皮爾遜相關系數
'''
def pearson(rating1, rating2):
    '''
    皮爾遜相關參數
    在統計學中，皮爾遜積矩相關系數
    （英語：Pearson product-moment correlation coefficient，
    又稱作 PPMCC或PCCs[1],
    文章中常用r或Pearson's r表示）
    用于度量兩個變量X和Y之間的相關（線性相關），其值介于-1與1之間。
    在自然科學領域中，該系數廣泛用于度量兩個變量之間的相關程度。
    0.8-1.0 極強相關
    0.6-0.8 強相關
    0.4-0.6 中等程度相關
    0.2-0.4 弱相關
    0.0-0.2 極弱相關或無相關
    '''
    sum_xy, sum_x, sum_y, sum_x2, sum_y2, n = 0, 0, 0, 0, 0, 0
    for i in xrange(len(rating1)):
            n = n + 1
            x = rating1[i]
            y = rating2[i]
            sum_xy += x * y
            sum_x += x
            sum_y += y
            sum_x2 += x ** 2
            sum_y2 += y ** 2
    if n == 0:
        return 0
    fenmu = sqrt(sum_x2 - (sum_x ** 2) / n) * sqrt(sum_y2 - (sum_y ** 2) / n)
    if fenmu == 0:
        return 0
    else:
        return (sum_xy - (sum_x * sum_y) / n) / fenmu

data=loaddataInTab('./AnscombeQuartet')

#x1,y1是線性相關的
diabetes_x1_test=data['X1']
diabetes_y1_test=data['Y1']
plt.scatter(diabetes_x1_test, diabetes_y1_test,  color='black')
print("黑色點的相關系數為:{}(皮爾遜相關參數)".format(pearson(diabetes_x1_test,diabetes_y1_test)))

regr1 = linear_model.LinearRegression()
diabetes_x1_train=diabetes_x1_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
diabetes_y1_train=diabetes_y1_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
regr1.fit(diabetes_x1_train, diabetes_y1_train)
plt.plot(diabetes_x1_test.as_matrix()[:, np.newaxis], regr1.predict(diabetes_x1_test.as_matrix()[:, np.newaxis]), color='black',linewidth=6)

#x2,y2是非線性 二次函數擬合
diabetes_x2_test=data['X2']
diabetes_y2_test=data['Y2']
plt.scatter(diabetes_x2_test, diabetes_y2_test,  color='red')
print("紅色點的相關系數為:{}(皮爾遜相關參數)".format(pearson(diabetes_x2_test,diabetes_y2_test)))

regr2 = linear_model.LinearRegression()
diabetes_x2_train=diabetes_x2_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
diabetes_y2_train=diabetes_y2_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
regr2.fit(diabetes_x2_train, diabetes_y2_train)
plt.plot(diabetes_x2_test.as_matrix()[:, np.newaxis], regr2.predict(diabetes_x2_test.as_matrix()[:, np.newaxis]), color='red',linewidth=4)

#x3,y3 數據對中出現了 孤立點
diabetes_x3_test=data['X3']
diabetes_y3_test=data['Y3']
plt.scatter(diabetes_x3_test, diabetes_y3_test,  color='blue')
print("藍色點的相關系數為:{}(皮爾遜相關參數)".format(pearson(diabetes_x3_test,diabetes_y3_test)))

regr3 = linear_model.LinearRegression()
diabetes_x3_train=diabetes_x3_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
diabetes_y3_train=diabetes_y3_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
regr3.fit(diabetes_x3_train, diabetes_y3_train)
plt.plot(diabetes_x3_test.as_matrix()[:, np.newaxis], regr3.predict(diabetes_x3_test.as_matrix()[:, np.newaxis]), color='blue',linewidth=2)


#x4,y4不適合線性擬合 極端值確立了直線
diabetes_x4_test=data['X4']
diabetes_y4_test=data['Y4']
plt.scatter(diabetes_x4_test, diabetes_y4_test,  color='green')
print("綠色點的相關系數為:{}(皮爾遜相關參數)".format(pearson(diabetes_x4_test,diabetes_y4_test)))
regr4 = linear_model.LinearRegression()
diabetes_x4_train=diabetes_x4_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
diabetes_y4_train=diabetes_y4_test.as_matrix()[:, np.newaxis]
regr4.fit(diabetes_x4_train, diabetes_y4_train)
plt.plot(diabetes_x4_test.as_matrix()[:, np.newaxis], regr4.predict(diabetes_x4_test.as_matrix()[:, np.newaxis]), color='green',linewidth=1)

plt.xticks(())
plt.yticks(())
plt.show()


'''
把上面的4組數據去做線性回歸：
有圖可知都做出了，斜率和截距相等的擬合線性

4種X，Y的相關系數都很接近
在解釋相關系數之前，圖像點位的散點分布是很重要的
如果完全基于相關系數分析數據，將無法發現數據構造模式之間的差別
'''

參考數據：

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