如何衡量數據點之間的相似或相異程度是聚類算法的基礎問題，會直接影響聚類分析的效果，最直觀的方法是使用距離函數或者相似性函數。

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常見的相似或相異程度計算方法。

1.計算公式

1.Minkowski distance

很多距離計算方法都可以歸結為基于向量p范數的距離，即Minkowski distance。

dij=(sumsh=1|xihxjh|p)1/pdij=(sumh=1s|xihxjh|p)1/p

2.Euclidean distance

參數p = 2，Minkowski distance退化為Euclidean distance，使用Euclidean distance的聚類算法大多只能發現低維空間中呈超球分布的數據，并且對數據集中的噪聲比較敏感。

dij=(sumsh=1|xihxjh|2)1/2dij=(sumh=1s|xihxjh|2)1/2

3.City-block distance

參數p = 1，Minkowski distance演變為City-block distance，City-block distance可以有效提高模糊聚類算法對噪聲或者孤立點的魯棒性。

dij=sumsh=1|xihxjh|dij=sumh=1s|xihxjh|

4.Sup distance

參數p = 無窮，Minkowski distance演變為Sup distance。

dij=maxh|xihxjh|dij=maxh|xihxjh|

5.Cosine similarity

sij=xTixj||xi||||xj||sij=xiTxj||xi||||xj||

6.Mahalanobis distance

Mahalanobis distance為原特征空間中的數據在線性投影空間歐式距離，使用Mahalanobis distance能夠使得聚類算法成功發現數據集里成超橢球型分布的類簇，但是Mahalanobis distance會帶來較大的計算量。

dij=(xixj)TS1(xixj)dij=(xixj)TS1(xixj)

7.Alternative distance

Alternative distance對數據集里的噪聲不敏感。

dij=1exp(β||xixj||2)dij=1exp(β||xixj||2)

8.Feature weighted distance

dij=(sumsh=1wah|xihxjh|)1/2dij=(sumh=1swha|xihxjh|)1/2

2.代碼

代碼，

import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([4,3,2,1])print aprint b#Euclidean distancedistEu = np.sqrt(np.sum((a-b)**2))print "Euclidean distance = ",distEu#City-block distancedistCb = np.sum(np.abs(a-b))print "City-block distance = ",distCb#Sup distancedistSup = max(np.abs(a-b))print "Sup distance = ",distSup#Cosine similaritycosineSimi = np.dot(a,b) / (np.sqrt(np.sum(a**2)) * np.sqrt(np.sum(b**2)))print "Cosine similarity = ",cosineSimi#Alternative distancebeta = 0.5distAlter = 1 - np.exp(-beta * np.sqrt(np.sum((a - b)**2)))print "Alternative distance = ",distAlter#Feature weighted distanceweigh = np.array([0.5,0.3,0.1,0.1])
distFea = np.sqrt(np.dot(weigh,np.abs(a-b)))print "Feature weighted distance = ",distFea

輸出，

[1 2 3 4]
[4 3 2 1]Euclidean distance =  4.472135955City-block distance =  8Sup distance =  3Cosine similarity =  0.666666666667Alternative distance =  0.89312207434Feature weighted distance =  1.48323969742

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